Nejprve je vysvětlen pojem prostoru metrického a pojem lineárních normovaných prostorů, které mezi metrickými prostory mají obzvláštní důležitost. Dále jsou probrány různé příklady těchto prostorů, na příklad prostor Hilbertův, je pojednáno o problémech aproximace v těchto prostorech a ke konci první kapitoly je podána definice lineárního funkcionálu a probrána Rieszova věta o lineárním funkcionálu v úplném Hilbertově prostoru. Další kapitoly jsou věnovány základům harmonické analysy, otázkám nejlepší harmonické aproximace funkcí a methodám Čebyševovým. Připojené doplňky obsahují větu Szegöho, věty Zolotarevovy a jim příbuzné a problém Carathéodory-Fejérův. V knize nejsou vyšetřovány otázky aproximace v komplexním oboru.